3. Точка B делит отрезок AC в отношении 4:3. Точка C делит отрезок BD в отношении 5:7. В каком отношении точка C делит отрезок AD? Рассмотрите все случаи.

Рассмотрим случаи расположения точек на одной прямой. Из условия AB:BC = 4:3, поэтому положим AB = 4k и BC = 3k. Из BC:CD = 5:7 следует CD = 21k/5.

1. Случай 1: точки расположены A—B—C—D. Тогда AC = 7k, CD = 21k/5, а AD = AC + CD = 56k/5. Поэтому AC:CD = 7k:(21k/5) = 5:3. То есть C делит AD в отношении AC:CD = 5:3.
2. Случай 2: C находится между B и D, но A и D по одну сторону от C. При заданных длинах это расположение соответствует порядку A—D—C—B: BD = BC + CD = 36k/5, а AD = BD − AB = 16k/5. Тогда AC = AB − BC = k и CD = 21k/5; однако A—D—C—B не согласуется с тем, что B делит именно отрезок AC: в этом порядке B не лежит между A и C. Поэтому случай невозможен при буквальном условии о делении отрезков.
3. Случай 3: B лежит между A и C, а D лежит по другую сторону от C относительно B. Тогда порядок A—B—C—D уже учтён в первом случае. Если вместо этого D лежит между B и C, то C не может делить отрезок BD, поскольку C окажется вне него; такой случай невозможен.
4. Случай 4: A и D лежат по разные стороны от C, при этом B между A и C, а C между B и D. Это также порядок A—B—C—D, уже рассмотренный.

При стандартном значении слов «B делит отрезок AC» и «C делит отрезок BD» точки B и C лежат внутри соответствующих отрезков, поэтому порядок точек однозначен: A—B—C—D.

Ответ: AC:CD = 5:3.