2. На рис. 166 ∠B = ∠D = 91°, BD = 12 см, BO = 6 см, DC = 11 см. Найдите AB.

Решение:

Для начала внимательно посмотрим на рисунок и условия задачи. У нас есть два треугольника, ΔABO и ΔCDO. Нам нужно найти длину стороны AB.

1. Анализируем данные:
   • ∠B = 91°
   • ∠D = 91°
   • BD = 12 см
   • BO = 6 см
   • DC = 11 см
2. Вертикальные углы: Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, значит, они равны.
3. Углы в треугольнике: В ΔABO: ∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 180°. Мы знаем, что ∠ABO = 91°.
4. Смежные углы: Углы ∠AOB и ∠BOD составляют развернутый угол, поэтому ∠AOB + ∠BOD = 180°.
5. Анализ ΔCDO: В ΔCDO: ∠OCD + ∠CDO + ∠DOC = 180°. Мы знаем, что ∠CDO = 91°.
6. Сравнение треугольников ΔABO и ΔCDO:
   • ∠ABO = ∠CDO = 91° (дано).
   • ∠AOB = ∠DOC (вертикальные углы).
7. Признак равенства треугольников: По двум углам и стороне между ними (или прилежащей к ним) треугольники равны, если два угла и прилежащая сторона одного треугольника равны двум углам и соответствующей стороне другого. У нас есть два угла, но нет информации о сторонах AO и CO, или DO и BO, которые бы гарантировали равенство по этому признаку.
8. Рассмотрим другой вариант: Если ∠B = 91° и ∠D = 91°, то это углы при вершинах B и D.
9. Обратим внимание на прямую BD: BD = 12 см. BO = 6 см. Это значит, что O — середина BD.
10. Рассмотрим ΔABO и ΔCDO:
    • ∠ABO = ∠CDO = 91°.
    • BO = OD = 6 см (так как BD = 12 см и O - середина).
    • ∠AOB = ∠COD (вертикальные углы).
11. Признак равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними): ΔABO = ΔCDO по второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол), так как ∠ABO = ∠CDO, BO = OD, и ∠AOB = ∠COD.
12. Следовательно: Если треугольники равны, то соответствующие стороны равны. Значит, AB = CD.
13. По условию: DC = 11 см.

Вывод: AB = 11 см.