5. Точка D лежит внутри равностороннего треугольника АВС, причем AD = BD. Докажите, что луч CD является биссектрисой угла АСВ.

Решение:

Нам нужно доказать, что CD делит ∠ACB пополам. Для этого мы воспользуемся свойствами равностороннего треугольника и равенством треугольников.

1. Свойства равностороннего треугольника:
   • Все стороны равны: AB = BC = AC.
   • Все углы равны: ∠A = ∠B = ∠C = 60°.
2. Анализируем условие AD = BD:
   • Это означает, что ΔADB является равнобедренным треугольником с основанием AB.
   • В ΔADB углы при основании равны: ∠DAB = ∠DBA.
3. Сравним ΔADC и ΔBDC:
   • Сторона AC = сторона BC (по свойству равностороннего ΔABC).
   • Сторона AD = сторона BD (по условию).
   • Сторона CD — общая для обоих треугольников.
4. Признак равенства треугольников: По трем сторонам (ΔADC = ΔBDC по третьему признаку равенства треугольников).
5. Следовательно: Если ΔADC = ΔBDC, то их соответствующие углы равны.
   • ∠ACD = ∠BCD.
6. Вывод: Так как ∠ACD = ∠BCD, то луч CD делит угол ∠ACB на два равных угла. Следовательно, луч CD является биссектрисой угла ACB.