4. Периметр треугольника АВС равен 51 см, АВ = 18 см, BC : AC = 5:6. Докажите, что ∠B = ∠C.

Решение:

Чтобы доказать, что ∠B = ∠C, нам нужно показать, что треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC, то есть AB = AC. Давайте проверим это.

1. Найдем длины сторон AC и BC:
   • Периметр ΔABC = AB + BC + AC = 51 см.
   • Известно, что AB = 18 см.
   • Значит, BC + AC = 51 - 18 = 33 см.
   • Дано соотношение BC : AC = 5:6. Это значит, что BC = 5k и AC = 6k для некоторого коэффициента k.
   • Подставим в сумму: 5k + 6k = 33
   • 11k = 33
   • k = 33 / 11
   • k = 3
   • Теперь найдем длины сторон:
     • BC = 5 * k = 5 * 3 = 15 см.
     • AC = 6 * k = 6 * 3 = 18 см.
2. Сравним длины сторон:
   • AB = 18 см.
   • AC = 18 см.
   • BC = 15 см.
3. Вывод: Мы видим, что AB = AC = 18 см.

Заключение: В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠B = ∠C.