2. На рис. 32 ABCD — ромб, ∠CAE = 32°, AE ⟂ BC. Найдите углы x и y.

Так как AE ⟂ BC, угол между AE и BC равен 90°. В треугольнике ABE угол при E равен 90°, а угол при A равен ∠BAE = ∠BAC − 32°.

В ромбе диагональ AC делит углы A и C пополам, а противоположные углы равны. Обозначим ∠BAC = y; тогда ∠BAE = y − 32°. Из прямоугольного треугольника ABE получаем x + (y − 32°) = 90°.

Кроме того, AB ∥ CD и BC ∥ AD. Из AE ⟂ BC следует, что угол между AE и AB равен дополнению угла между AC и AE к 90°; это даёт ∠BAE = 58°. Следовательно, y = 58° + 32° = 90°. Но диагональ AC ромба биссектрисса угла A, поэтому если y обозначает нижнюю половину угла A, то верхняя половина ∠BAC также равна y; противоречие с ∠CAE = 32° и AE ⟂ BC: угол между AC и BC составляет 90° − 32° = 58°, а из равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) следует, что ∠BAC = ∠ACB = 58°. Значит, нижний угол y = 58°, а угол при B равен x = 180° − 2·58° = 64°.

Ответ: x = 64°, y = 58°.