2. На рисунке 2 хорды AB, BC и ED равны радиусу окружности с центром O. Длина ломаной BCODE меньше длины ломаной ABCDE на 30 см. Найдите радиус окружности.

Обозначим радиус окружности через r. Так как OA, OB, OC и OD — радиусы, а хорды AB, BC и ED равны радиусу, треугольники AOB, BOC и DOE равносторонние. Поэтому дуги AB, BC и ED стягивают центральные углы по 60°.

Оставшаяся дуга от C до E через D равна 180°, следовательно, меньшая дуга CD вместе с дугой DE составляет 180°. Значит, центральный угол COD равен 120°, и хорда CD равна r√3.

Длины ломаных:

ABC​​DE = AB + BC + CD + DE = 3r + r√3.

BCODE = BC + CO + OD + DE = 4r.

По условию первая ломаная длиннее второй на 30 см:

3r + r√3 − 4r = 30, откуда r(√3 − 1) = 30.

Следовательно, r = 30/(√3 − 1) = 15(√3 + 1) см.

Ответ: 15(√3 + 1) см.