4. Углы AOC и BOC — смежные, и угол AOC составляет 1/4 от угла BOC. Лучу OK перпендикулярен луч OC и проходит внутри угла BOC, луч ON — дополнительный к лучу OK. Найдите угол AON.

Пусть ∠AOC = x, тогда ∠BOC = 4x. Смежные углы в сумме дают 180°:

x + 4x = 180°, откуда x = 36° и ∠BOC = 144°.

Так как OK ⟂ OC и луч OK лежит внутри ∠BOC, ∠BOK = 144° − 90° = 54°. Луч ON противоположен OK. Принимая направление луча OB за 0°, лучи OC, OK и ON имеют направления соответственно 144°, 54° и 234°. Луч OA противоположен OC и имеет направление 324°. Меньший угол между OA и ON равен 90°.

Ответ: 90°.