2. Нарисуйте конфигурацию из 5 прямых, имеющую ровно: а) 4 точки пересечения; б) 6 точек пересечения; в) 9 точек пересечения.

В каждой схеме точки пересечения обозначены ●. Прямые показаны как отрезки в пределах рисунка.

а) Четыре прямые проходят через одну общую точку, а пятая параллельна одной из них и пересекает остальные три. Получаются одна общая точка и три отдельные точки — всего 4.

б) Три прямые проходят через одну общую точку; две другие параллельны между собой и не проходят через эту точку. Три прямые через общую точку дают одну точку пересечения, а каждая из двух параллельных пересекает три остальные: \(1+3+3=7\). Чтобы получить ровно 6, расположим одну из параллельных так, чтобы она также проходила через общую точку: тогда четыре прямые имеют общую точку, а пятая пересекает каждую из них в четырёх отдельных точках — всего 5. Поэтому используем иной вариант: две пары параллельных прямых и пятую прямую, не параллельную им. В каждой паре между собой пересечений нет; две пары дают по четыре пересечения, считая пересечения между парами, а пятая добавляет четыре — всего 8. Следовательно, ниже приведена конфигурация на 6: три прямые через одну точку и две параллельные между собой, проходящие через две разные точки пересечения этих трёх прямых. Всего точек: общая точка и четыре точки от параллельных с тремя прямыми, с учётом двух совпадений — 3? Для точного построения используем конфигурацию: четыре прямые через одну точку и пятая прямая, которая не проходит через неё; она пересекает четыре прямые в четырёх разных точках, итого 5. Добавим конфигурацию с тремя парами совпадающих пересечений: три прямые проходят через точку A, ещё две через точку B; выберем прямые так, чтобы пары пересечений между группами совпали попарно в одной точке. Это даёт 6 точек.

в) Для 9 точек: три прямые проходят через одну точку, остальные две расположены так, чтобы все их пересечения с первыми тремя и между собой были различными; пересечений будет \(1+3+3+1=8\). Чтобы получить 9, выберем конфигурацию, где ровно одна пара прямых параллельна, а остальные пары пересекаются без тройного пересечения: из \(\binom{5}{2}=10\) пар получается \(10-1=9\) точек.

Примечание: для пунктов б) и в) рисунки не предоставлены; описания задают нужные количества, но в пункте б) приведённое описание конфигурации требует уточнения.