3. Могут ли 6 прямых пересекаться ровно в 7 точках? Если да — нарисуйте; если нет — объясните почему.

Да. Проведём три прямые через одну точку, а остальные три — в общем положении так, чтобы они пересекали первые три и друг друга без дополнительных совпадений и параллельности.

Три прямые через общую точку дают 1 точку пересечения. Между ними и тремя остальными получается \(3\cdot3=9\) пересечений, а три последние имеют ещё \(\binom{3}{2}=3\) пересечения. Такая конфигурация дала бы 13 точек, поэтому для 7 точек нужна большая концентрация: расположим все 6 прямых так, чтобы они проходили через две общие точки — это невозможно, поскольку две различные прямые могут иметь только одно общее пересечение.

Подходящая конфигурация: четыре прямые проходят через одну точку (1 точка), а две оставшиеся пересекают каждую из этих четырёх прямых, причём обе проходят через одну из уже имеющихся точек? Тогда число дополнительных точек зависит от совпадений.

Формула числа точек учитывает уменьшение от кратных пересечений: если 6 прямых имеют одну точку, где пересекаются 4 прямые, это уменьшает максимум на \(\binom{4}{2}-1=5\), а если ещё одна тройная точка — на 2. Итого максимум \(15-5-2=8\), не 7. Можно получить 7, например, если четыре прямые проходят через A, а три из оставшихся (всего их две) ...

Для точного ответа требуется конфигурация с суммарным уменьшением максимума на 8. Например, пусть три прямые пересекаются в A, ещё три — в B, при этом каждая прямая первой тройки пересекает каждую прямую второй тройки в одной общей точке невозможно для различных прямых. Поэтому построение на 7 точек здесь не дано.