2. Найдите длину хорды AB, если радиус окружности равен 8 см, а центральный угол AOB равен 120°.

Решение:

Дан центральный угол \( \angle AOB = 120^{\circ} \) и радиус окружности \( R = 8 \text{ см} \).

Треугольник \( \triangle AOB \) является равнобедренным, так как \( OA = OB = R \).

Опустим высоту \( OH \) из центра \( O \) на хорду \( AB \). В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой.

\( AH = HB \) и \( \angle AOH = \angle BOH = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle AOH \). Угол \( \angle AHO = 90^{\circ} \) и \( \angle AOH = 60^{\circ} \).

В этом треугольнике \( AH \) — катет, противолежащий углу \( 60^{\circ} \), а \( OA \) — гипотенуза.

Используем синус угла:

\( \sin(\angle AOH) = \frac{AH}{OA} \)

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{AH}{8} \)

\( AH = 8 \cdot \sin(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} \).

Длина хорды \( AB \) равна удвоенной длине \( AH \):

\( AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ см} \).

Ответ: 8\(\sqrt{3}\) см.