5. Найдите длину хорды AB, если радиус окружности равен 8 см, а вписанный угол, опирающийся на дугу AB, равен 60°.

Решение:

Дан радиус окружности \( R = 8 \text{ см} \).

Вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \), равен \( 60^{\circ} \).

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла:

\( \angle AOB = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

Рассмотрим равнобедренный треугольник \( \triangle AOB \) \( (OA = OB = R = 8 \text{ см}) \) с углом \( \angle AOB = 120^{\circ} \).

Опустим высоту \( OH \) из \( O \) на \( AB \). \( OH \) делит \( \angle AOB \) пополам, так что \( \angle AOH = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle AOH \) имеем \( \angle AHO = 90^{\circ} \), \( \angle AOH = 60^{\circ} \) и гипотенузу \( OA = 8 \text{ см} \).

Катет \( AH \) противолежит углу \( \angle AOH \).

\( AH = OA \cdot \sin(\angle AOH) \)

\( AH = 8 \cdot \sin(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см} \).

Длина хорды \( AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ см} \).

Ответ: 8\(\sqrt{3}\) см.