6. Найдите длину хорды AB, если радиус окружности равен 8 см, а вписанный угол, опирающийся на дугу AB, равен 45°.

Решение:

Дан радиус окружности \( R = 8 \text{ см} \).

Вписанный угол, опирающийся на дугу \( AB \), равен \( 45^{\circ} \).

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла:

\( \angle AOB = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ} \).

Треугольник \( \triangle AOB \) равнобедренный ( \( OA = OB = R = 8 \text{ см} \)) с прямым углом \( \angle AOB = 90^{\circ} \).

По теореме Пифагора найдем длину хорды \( AB \):

\( AB^2 = OA^2 + OB^2 \)

\( AB^2 = 8^2 + 8^2 \)

\( AB^2 = 64 + 64 \)

\( AB^2 = 128 \)

\( AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \text{ см} \).

Ответ: 8\(\sqrt{2}\) см.