2. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD, где BC || AD. Известно, что \( \angle CAD = 105^{\circ} \) (угол между боковой стороной CD и диагональю AC) и \( \angle ACB = 30^{\circ} \) (угол между основанием BC и диагональю AC). В равнобедренной трапеции углы при основании равны.

1. Так как BC || AD, то \( \angle CAD = \angle ACB = 30^{\circ} \) как накрест лежащие углы.
2. Теперь рассмотрим \( \triangle ACD \). Сумма углов в треугольнике равна 180°. \( \angle ADC \) (угол трапеции при основании AD) равен \( 180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD \).
3. Нам дан \( \angle ACD = 105^{\circ} \).
4. \( \angle ADC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 105^{\circ} = 45^{\circ} \).
5. Так как трапеция равнобедренная, то углы при каждом основании равны. Углы при основании AD равны \( 45^{\circ} \).
6. Углы при основании BC равны \( 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \).
7. Меньший угол трапеции равен \( 45^{\circ} \).

Ответ: 45°.