3. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Задание 3

У нас есть отрезок AB, на котором точка C. Окружность с центром в точке A проходит через точку C. Нужно найти длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Дано:

• Точка C на отрезке AB.
• \( AC = 75 \)
• \( BC = 10 \)
• Окружность с центром A, проходящая через C.

Найти: длину касательной из B к окружности.

Решение:

1. Радиус окружности равен расстоянию от центра A до точки C, то есть \( R = AC = 75 \).
2. Пусть точка касания касательной, проведённой из B, будет T.
3. Отрезок BT — это касательная, а отрезок AT — это радиус окружности.
4. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, \( \angle ATB = 90^\circ \).
5. Таким образом, треугольник ATB — прямоугольный.
6. Длина отрезка AB равна сумме AC и BC: \( AB = AC + BC = 75 + 10 = 85 \).
7. В прямоугольном треугольнике ATB:
• Гипотенуза — AB (расстояние от центра до внешней точки B). \( AB = 85 \).
• Один катет — AT (радиус окружности). \( AT = R = 75 \).
• Второй катет — BT (длина касательной).
8. По теореме Пифагора: \( AB^2 = AT^2 + BT^2 \)
9. Выразим длину касательной BT: \( BT^2 = AB^2 - AT^2 \)
10. Подставим значения: \( BT^2 = 85^2 - 75^2 \)
11. Вычислим квадраты: \( BT^2 = 7225 - 5625 \)
12. Вычтем: \( BT^2 = 1600 \)
13. Найдем длину касательной: \( BT = \sqrt{1600} = 40 \)

Ответ: Длина отрезка касательной равна 40.