2. Найдите множество решений неравенства $$ \frac{4-x}{x-5} > \frac{1}{1-x} $$

Решение:

1. Перенесём всё в левую часть неравенства: \( \frac{4-x}{x-5} - \frac{1}{1-x} > 0 \).
2. Приведём к общему знаменателю. Учтём, что \( 1-x = -(x-1) \): \( \frac{4-x}{x-5} + \frac{1}{x-1} > 0 \).
3. Общий знаменатель: \( (x-5)(x-1) \).
4. Преобразуем неравенство: \( \frac{(4-x)(x-1) + (x-5)}{(x-5)(x-1)} > 0 \).
5. Раскроем скобки в числителе: \( \frac{4x - 4 - x^2 + x + x - 5}{(x-5)(x-1)} > 0 \).
6. Упростим числитель: \( \frac{-x^2 + 6x - 9}{(x-5)(x-1)} > 0 \).
7. Выделим полный квадрат в числителе: \( \frac{-(x^2 - 6x + 9)}{(x-5)(x-1)} > 0 \) или \( \frac{-(x-3)^2}{(x-5)(x-1)} > 0 \).
8. Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: \( \frac{(x-3)^2}{(x-5)(x-1)} < 0 \).
9. Рассмотрим знаки множителей. \( (x-3)^2 \) всегда \( \ge 0 \). Следовательно, чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным, а \( (x-3)^2 \) должен быть строго больше нуля (т.е. \( x
   e 3 \)).
10. Рассмотрим интервалы:

• Если \( x < 1 \), то \( x-1 < 0 \) и \( x-5 < 0 \). Знаменатель \( (x-5)(x-1) > 0 \). Неравенство \( < 0 \) не выполняется.
• Если \( 1 < x < 3 \), то \( x-1 > 0 \) и \( x-5 < 0 \). Знаменатель \( (x-5)(x-1) < 0 \). Неравенство \( < 0 \) выполняется.
• Если \( 3 < x < 5 \), то \( x-1 > 0 \) и \( x-5 < 0 \). Знаменатель \( (x-5)(x-1) < 0 \). Неравенство \( < 0 \) выполняется.
• Если \( x > 5 \), то \( x-1 > 0 \) и \( x-5 > 0 \). Знаменатель \( (x-5)(x-1) > 0 \). Неравенство \( < 0 \) не выполняется.

Учитываем, что \( x
e 3 \). Значит, \( x \) может быть в интервалах \( (1; 3) \) и \( (3; 5) \).

Объединяя эти интервалы, получаем \( (1; 5) \), исключая точку \( x=3 \).

Ответ: \( x \in (1; 3) \cup (3; 5) \).