4. Упростите выражение $$ \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \frac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha} $$

Решение:

1. Приведём дроби к общему знаменателю \( \sin \alpha (1+\cos \alpha) \).
2. \( \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha}{(1+\cos \alpha)\sin \alpha} + \frac{(1+\cos \alpha)(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha (1+\cos \alpha)} \).
3. \( \frac{\sin^2 \alpha + (1+\cos \alpha)^2}{\sin \alpha (1+\cos \alpha)} \).
4. Раскроем квадрат в числителе: \( (1+\cos \alpha)^2 = 1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha \).
5. Числитель равен: \( \sin^2 \alpha + 1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha \).
6. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \): \( 1 + 1 + 2\cos \alpha = 2 + 2\cos \alpha \).
7. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{2 + 2\cos \alpha}{\sin \alpha (1+\cos \alpha)} \).
8. Вынесем общий множитель 2 в числителе: \( \frac{2(1+\cos \alpha)}{\sin \alpha (1+\cos \alpha)} \).
9. Сократим \( (1+\cos \alpha) \), при условии, что \( 1+\cos \alpha
   e 0 \) (что верно, так как \( \cos \alpha
   e -1 \) для существования \( \sin \alpha \) в знаменателе исходной дроби) и \( \sin \alpha
   e 0 \).
10. Получаем \( \frac{2}{\sin \alpha} \).

Ответ: \( \frac{2}{\sin \alpha} \)