3. Решите уравнение: $$ \frac{2+\sqrt{4+2x-x^2}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x-12}}=1 $$

Решение:

1. Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ).
• Под корнями: \( 4+2x-x^2 \ge 0 \) и \( x+1 \ge 0 \) и \( 2x-12 \ge 0 \).
• Из \( x+1 \ge 0 \) следует \( x \ge -1 \).
• Из \( 2x-12 \ge 0 \) следует \( 2x \ge 12 \), то есть \( x \ge 6 \).
• Из \( 4+2x-x^2 \ge 0 \) найдём корни квадратного трёхчлена \( -x^2+2x+4=0 \). \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)(4)}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{-2} = 1 \mp \sqrt{5} \). Так как ветви параболы направлены вниз, \( -x^2+2x+4 \ge 0 \) при \( 1-\sqrt{5} \le x \le 1+\sqrt{5} \). Приблизительно \( -1.23 \le x \le 3.23 \).
• Объединяя все условия, ОДЗ: \( x \ge 6 \).
• Знаменатель не должен быть равен нулю: \( \sqrt{x+1}-\sqrt{2x-12}
  e 0 \), то есть \( \sqrt{x+1}
  e \sqrt{2x-12} \), \( x+1
  e 2x-12 \), \( x
  e 13 \).
2. Преобразуем уравнение: \( 2+\sqrt{4+2x-x^2} = \sqrt{x+1}-\sqrt{2x-12} \).
3. Возведём обе части в квадрат. Сначала выразим корень из числителя: \( \sqrt{4+2x-x^2} = \sqrt{x+1}-\sqrt{2x-12} - 2 \).
4. Возводим в квадрат: \( 4+2x-x^2 = (\sqrt{x+1}-\sqrt{2x-12} - 2)^2 \). Это приведёт к очень громоздким выкладкам. Попробуем другой подход.
5. Перенесём \( \sqrt{x+1} \) влево, а \( 2 \) и \( \sqrt{4+2x-x^2} \) вправо: \( \sqrt{x+1} = \sqrt{2x-12} + 2 - \sqrt{4+2x-x^2} \).
6. Возведём обе части в квадрат: \( x+1 = (\sqrt{2x-12} + 2 - \sqrt{4+2x-x^2})^2 \). Это тоже очень сложно.
7. Вернёмся к \( \frac{2+\sqrt{4+2x-x^2}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x-12}}=1 \).
8. Пусть \( A = \sqrt{x+1} \) и \( B = \sqrt{2x-12} \). Тогда \( A^2 = x+1 \) и \( B^2 = 2x-12 \). \( 2A^2 = 2x+2 \). \( B^2 - 2A^2 = (2x-12) - (2x+2) = -14 \).
9. Перепишем уравнение как \( 2+\sqrt{4+2x-x^2} = A-B \).
10. Под корнем в числителе: \( 4+2x-x^2 = 4+2x-(2x-12) = 16 \). Это неверно.
11. Проверим правильность переписывания задания. Действительно, \( 4+2x-x^2 \) находится под корнем.
12. Давайте попробуем подставить значения из ОДЗ. Если \( x=6 \), \( \sqrt{6+1} = \sqrt{7} \), \( \sqrt{2(6)-12} = \sqrt{0} = 0 \). Знаменатель \( \sqrt{7}-0 = \sqrt{7} \). Числитель \( 2+\sqrt{4+2(6)-6^2} = 2+\sqrt{4+12-36} = 2+\sqrt{-20} \) - не имеет действительных значений.
13. Есть вероятность, что в условии задания есть опечатка, так как при \( x \ge 6 \), подкоренное выражение \( 4+2x-x^2 \) становится отрицательным. \( -x^2+2x+4 \ge 0 \) только до \( x \approx 3.23 \).
14. Если предположить, что под корнем было \( 4+2x-x^2 \) и \( x \not\to 6 \), то всё равно \( x \ge 6 \) — это область допустимых значений.
15. Возможно, что \( 4+2x-x^2 \) является полным квадратом, но это не так.
16. Предположим, что в задании была опечатка, и под корнем в числителе должно было быть что-то другое, чтобы оно было неотрицательным при \( x \rightarrow \textbf{6} \).
17. Если мы проигнорируем ОДЗ и попробуем решить, то: \( 2+\sqrt{4+2x-x^2} = \sqrt{x+1}-\sqrt{2x-12} \).
18. Рассмотрим случай, когда \( 4+2x-x^2 = (\sqrt{x+1}-\sqrt{2x-12}-2)^2 \) (как если бы мы возвели в квадрат).
19. Давайте попробуем домножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю: \( \frac{(2+\sqrt{4+2x-x^2})(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-12})}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{2x-12})(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-12})} = 1 \).
20. \( \frac{(2+\sqrt{4+2x-x^2})(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-12})}{x+1 - (2x-12)} = 1 \).
21. \( \frac{(2+\sqrt{4+2x-x^2})(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-12})}{13-x} = 1 \).
22. \( (2+\sqrt{4+2x-x^2})(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-12}) = 13-x \).
23. Возведём обе части в квадрат: \( (2+\sqrt{4+2x-x^2})^2 (\sqrt{x+1}+\sqrt{2x-12})^2 = (13-x)^2 \).
24. \( (4 + 4\sqrt{4+2x-x^2} + 4+2x-x^2)(x+1 + 2x-12 + 2\sqrt{(x+1)(2x-12)}) = (13-x)^2 \).
25. \( (8+2x-x^2 + 4\sqrt{4+2x-x^2})(3x-11 + 2\sqrt{2x^2-12x+2x-12}) = (13-x)^2 \).
26. \( (8+2x-x^2 + 4\sqrt{4+2x-x^2})(3x-11 + 2\sqrt{2x^2-10x-12}) = (13-x)^2 \).
27. Это выражение очень сложно для решения.
28. Проверим ещё раз ОДЗ. \( x \to \textbf{6} \), \( 4+2x-x^2 \to 4+12-36 = -20 \).
29. Если допустить, что под корнем было \( x^2-2x-4 \) или \( -4-2x+x^2 \), то ОДЗ изменится.
30. Если предположить, что \( 4+2x-x^2 \) было вместо \( x^2-2x+4 \), то \( x^2-2x+4=(x-1)^2+3
    e 0 \).
31. Если предположить, что в числителе было \( 2+\sqrt{x^2-2x+4} \), тогда \( x^2-2x+4 \ge 0 \) для всех \( x \).
32. Если в задании верна дробная черта, а не \( = \), то это не уравнение.
33. Проверим, если \( x=6 \) был бы решением, то \( \sqrt{6+1}=\sqrt{7} \) и \( \sqrt{2(6)-12}=0 \). Знаменатель \( \sqrt{7} \). Числитель \( 2+\sqrt{4+12-36} \) - мнимое число.
34. Похоже, что в задании есть ошибка в условии, так как ОДЗ \( x \to \textbf{6} \) приводит к корню из отрицательного числа в числителе.
35. Однако, если бы \( x=13 \), то знаменатель обращается в ноль.
36. Проверим, что произойдёт, если \( x=13 \) подставить в числитель: \( 2+\sqrt{4+2(13)-13^2} = 2+\sqrt{4+26-169} = 2+\sqrt{-139} \).
37. Если бы в задании было \( \textbf{x=6} \) как решение, то \( \sqrt{4+12-36} \) было бы \( \sqrt{-20} \).
38. Поскольку ОДЗ \( x \to \textbf{6} \), а подкоренное выражение \( 4+2x-x^2 \) отрицательно для \( x \to \textbf{6} \), то данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: Действительных решений нет.