2. Найдите область определения выражения: а) √((x³ − 11x + 24)⁻¹); б) √(x − 8/(x − 2)); в) √((2x − 5)/(x² − 7x − 8)).

а) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен обращаться в ноль. Поэтому требуется \(x^3-11x+24>0\). У этого многочлена один действительный корень \(\alpha\approx-4.10\) (точно: корень уравнения \(x^3-11x+24=0\)). Старший коэффициент положителен, значит многочлен положителен при \(x>\alpha\).

б) Требуется \(x\ne2\) и \(x-\frac{8}{x-2}\ge0\). Приведём к общей дроби: \(\frac{(x-4)(x+2)}{x-2}\ge0\). Метод интервалов даёт \([-2,2)\cup[4,+\infty)\).

в) Разложим знаменатель: \(x^2-7x-8=(x-8)(x+1)\). По методу интервалов для \(\frac{2x-5}{(x-8)(x+1)}\ge0\) получаем \((-\infty,-1)\cup[\frac52,8)\cup(8,+\infty)\).

Ответ: а) \((\alpha,+\infty)\), где \(\alpha\) — единственный действительный корень \(x^3-11x+24=0\); б) \([-2,2)\cup[4,+\infty)\); в) \((-\infty,-1)\cup[\frac52,8)\cup(8,+\infty)\).