2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² + 2, y = 0, x = 1, x = 3

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \), \( y = g(x) \) и прямыми \( x = a \), \( x = b \), вычисляется по формуле:

\( S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx \)

В данном случае:

• Верхняя граница \( y = x^2 + 2 \)
• Нижняя граница \( y = 0 \)
• Левая граница \( x = 1 \)
• Правая граница \( x = 3 \)

Так как \( x^2 + 2 > 0 \) для всех \( x \), то \( x^2 + 2 \) всегда больше \( 0 \) на заданном интервале.

Площадь вычисляется как:

\( S = \int_1^3 (x^2 + 2 - 0) dx \)

\( S = \int_1^3 (x^2 + 2) dx \)

Найдем первообразную:

\( \int (x^2 + 2) dx = \frac{x^3}{3} + 2x \)

Теперь вычислим определенный интеграл:

\( S = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x \right]_1^3 \)

\( S = \left( \frac{3^3}{3} + 2 · 3 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 2 · 1 \right) \)

\( S = \left( \frac{27}{3} + 6 \right) - \left( \frac{1}{3} + 2 \right) \)

\( S = (9 + 6) - (\frac{1}{3} + \frac{6}{3}) \)

\( S = 15 - \frac{7}{3} \)

\( S = \frac{45}{3} - \frac{7}{3} = \frac{38}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{38}{3} \) квадратных единиц.