8. Найдите все первообразные для функции f(x) = 5x⁴ + 4x³ - 2x - 3

Решение:

Чтобы найти первообразную функции \( f(x) = 5x^4 + 4x^3 - 2x - 3 \), проинтегрируем функцию по \( x \).

Общая формула для нахождения первообразной \( F(x) \) от функции \( f(x) \) — это \( F(x) = \int f(x) dx \).

Интегрируем каждый член функции:

• \( \int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 \)
• \( \int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \)
• \( \int -2x dx = -2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2 \)
• \( \int -3 dx = -3x \)

Сложим полученные результаты и добавим константу интегрирования \( C \):

\( F(x) = x^5 + x^4 - x^2 - 3x + C \)

Ответ: \( F(x) = x^5 + x^4 - x^2 - 3x + C \).