2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = 2, x = 4

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \), \( y = g(x) \) и прямыми \( x = a \), \( x = b \), вычисляется по формуле:

\( S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx \)

В данном случае \( f(x) = x^2 \), \( g(x) = 0 \), \( a = 2 \), \( b = 4 \).

Так как на интервале \( [2, 4] \) функция \( y = x^2 \) неотрицательна ( \( x^2 \ge 0 \)), то \( |x^2 - 0| = x^2 \).

Вычислим определенный интеграл:

\( S = \int_2^4 x^2 dx \)

Найдем первообразную функции \( x^2 \): \( F(x) = \frac{x^3}{3} \).

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

\( S = F(4) - F(2) = \frac{4^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{8}{3} = \frac{56}{3} \).

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{56}{3} \) квадратных единиц.