4. Решите уравнение 10·5ˣ⁻¹ + 5ˣ⁺¹ = 7

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \) и \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \):

\( 10 \cdot \frac{5^x}{5^1} + 5^x \cdot 5^1 = 7 \)

\( \frac{10}{5} \cdot 5^x + 5 \cdot 5^x = 7 \)

\( 2 \cdot 5^x + 5 \cdot 5^x = 7 \)

Теперь введем замену переменной. Пусть \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 2y + 5y = 7 \)

\( 7y = 7 \)

\( y = 1 \)

Теперь вернемся к исходной переменной:

\( 5^x = 1 \)

Так как любое число в степени 0 равно 1, то:

\( 5^x = 5^0 \)

\( x = 0 \).

Ответ: 0