№2. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом 6 см вокруг его оси симметрии.

Ось симметрии треугольника проходит от вершины прямого угла к середине гипотенузы. При вращении вокруг неё образуются два одинаковых конуса, соединённых основаниями. Их общие основания внутри тела не входят в его внешнюю поверхность.

Гипотенуза равна \(6\sqrt{2}\) см, поэтому радиус каждого конуса равен половине гипотенузы: \(r=3\sqrt{2}\) см. Образующая каждого конуса совпадает с катетом треугольника: \(l=6\) см.

Площадь внешней поверхности — сумма боковых площадей двух конусов:

\(S=2\pi rl=2\pi\cdot3\sqrt{2}\cdot6=36\sqrt{2}\pi\) см².

Ответ: \(36\sqrt{2}\pi\) см².