№5. В конус высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.

Пирамида вписана в конус: её вершина совпадает с вершиной конуса, а прямоугольное основание вписано в круг основания конуса. Диагональ прямоугольника равна \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) см, поэтому радиус конуса равен половине диагонали: \(r=5\) см.

Образующая конуса: \(l=\sqrt{12^2+5^2}=13\) см. Его полная поверхность равна \(S_{к}=\pi r^2+\pi rl=25\pi+65\pi=90\pi\) см².

Для двух боковых граней пирамиды с основанием 6 см высота грани равна \(\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10}\) см: расстояние от центра прямоугольника до стороны длиной 6 см равно 4 см. Суммарная площадь этих граней равна \(2\cdot\frac12\cdot6\cdot4\sqrt{10}=24\sqrt{10}\) см².

Для двух граней с основанием 8 см высота равна \(\sqrt{12^2+3^2}=3\sqrt{17}\) см, поскольку расстояние от центра до стороны длиной 8 см равно 3 см. Их суммарная площадь равна \(2\cdot\frac12\cdot8\cdot3\sqrt{17}=24\sqrt{17}\) см².

Площадь основания пирамиды равна \(6\cdot8=48\) см². Поэтому \(S_{п}=48+24\sqrt{10}+24\sqrt{17}\) см².

Искомое отношение:

\(\frac{S_{п}}{S_{к}}=\frac{48+24\sqrt{10}+24\sqrt{17}}{90\pi}=\frac{8+4\sqrt{10}+4\sqrt{17}}{15\pi}\).

Ответ: \(\frac{8+4\sqrt{10}+4\sqrt{17}}{15\pi}\).