№4. В шаре проведены по одну сторону от центра два параллельных сечения, площади которых равны 49π дм² и 4π м², а расстояние между ними 9 дм. Найдите площадь поверхности шара.

Переведём площади к одинаковым единицам: \(4\pi\) м² = \(400\pi\) дм². Радиусы сечений равны \(7\) дм и \(20\) дм. Сечение большего радиуса расположено ближе к центру шара.

Пусть расстояния от центра до плоскостей сечений равны \(x\) и \(y\), где \(x\) относится к радиусу 20 дм. Тогда \(y-x=9\), а из соотношения между радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием до его плоскости:

\(R^2-x^2=20^2\), \(R^2-y^2=7^2\).

Вычитаем равенства: \(y^2-x^2=400-49=351\). Значит, \((y-x)(y+x)=351\), откуда \(y+x=39\). Решая систему, получаем \(x=15\) дм и \(y=24\) дм.

Тогда \(R^2=20^2+15^2=625\), то есть \(R=25\) дм. Площадь поверхности шара:

\(S=4\pi R^2=4\pi\cdot625=2500\pi\) дм² = \(25\pi\) м².

Ответ: \(2500\pi\) дм² (или \(25\pi\) м²).