2. Найдите производную следующей функции: f(x) = (12 x² + 5)¹¹

Решение:

Для нахождения производной функции \( f(x) = (12x^2 + 5)^{11} \) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (правилом цепочки). Пусть \( u = 12x^2 + 5 \), тогда \( f(x) = u^{11} \).

Производная \( f(x) \) по \( x \) равна:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (12x^2 + 5)^{11} = 11 \cdot (12x^2 + 5)^{11-1} \cdot \frac{d}{dx} (12x^2 + 5) \]

Вычислим производную внутренней функции \( 12x^2 + 5 \):

\[ \frac{d}{dx} (12x^2 + 5) = 12 \cdot 2x + 0 = 24x \]

Подставим полученное значение обратно:

\[ f'(x) = 11 \cdot (12x^2 + 5)^{10} \cdot 24x \]

Упростим выражение:

\[ f'(x) = 264x (12x^2 + 5)^{10} \]

Ответ: \( f'(x) = 264x (12x^2 + 5)^{10} \).