4. Решите уравнение: 0,09ˣ - 26*0,3ˣ + 25 = 0

Решение:

1. Заметим, что \( 0.09 = (0.3)^2 \). Перепишем уравнение, используя это: \( (0.3^2)^x - 26 \cdot 0.3^x + 25 = 0 \) \( (0.3^x)^2 - 26 \cdot 0.3^x + 25 = 0 \).
2. Сделаем замену переменной. Пусть \( y = 0.3^x \). Так как \( 0.3^x \) всегда больше нуля, то \( y > 0 \). Уравнение примет вид: \( y^2 - 26y + 25 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = (-26)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{576} = 24 \).
4. Найдем корни для \( y \):
   • \( y_1 = \frac{26 + 24}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
   • \( y_2 = \frac{26 - 24}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
   Оба корня \( y_1=25 \) и \( y_2=1 \) удовлетворяют условию \( y > 0 \).
5. Сделаем обратную замену:
   • Случай 1: \( 0.3^x = 25 \). \( (3/10)^x = 25 \). Логарифмируем обе части по основанию 10 или натуральному логарифму: \( x \log(0.3) = \log(25) \) \( x = \frac{\log(25)}{\log(0.3)} \) \( x = \frac{2 \log(5)}{\log(3) - \log(10)} = \frac{2 \log(5)}{\log(3) - 1} \).
   • Случай 2: \( 0.3^x = 1 \). Так как любое число в степени 0 равно 1, \( x = 0 \).

Ответ: \( x = 0 \) и \( x = \frac{\log(25)}{\log(0.3)} \) (или \( x = \frac{2 \log(5)}{\log(3) - 1} \)).