3. Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x) = 3x² - x³

Исследование функции \( f(x) = 3x^2 - x^3 \):

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел \( x \), так как это многочлен. \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
2. Чётность/Нечётность: \( f(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^3 = 3x^2 + x^3 \). Так как \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), функция ни чётная, ни нечётная.
3. Пересечение с осями:
   • С осью OY: При \( x = 0 \), \( f(0) = 3(0)^2 - (0)^3 = 0 \). Точка пересечения: \( (0, 0) \).
   • С осью OX: При \( f(x) = 0 \), \( 3x^2 - x^3 = 0 \) \( x^2(3 - x) = 0 \). Корни: \( x=0 \) (кратности 2) и \( x=3 \). Точки пересечения: \( (0, 0) \) и \( (3, 0) \).
4. Производная и точки экстремума:
   • Найдём первую производную: \( f'(x) = 6x - 3x^2 \).
   • Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: \( 6x - 3x^2 = 0 \) \( 3x(2 - x) = 0 \). Критические точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
   • Исследуем знаки производной:
     • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 < 0 \) (убывание).
     • При \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 > 0 \) (возрастание).
     • При \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \( f'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0 \) (убывание).
   • Выводы:
     • В точке \( x = 0 \) — локальный минимум (функция меняет убывание на возрастание). \( f(0) = 0 \). Точка минимума: \( (0, 0) \).
     • В точке \( x = 2 \) — локальный максимум (функция меняет возрастание на убывание). \( f(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 12 - 8 = 4 \). Точка максимума: \( (2, 4) \).
5. Построение графика: Используя полученные точки и информацию о возрастании/убывании, строим график.
   • Функция убывает на \( (-\infty; 0] \) и \( [2; +\infty) \).
   • Функция возрастает на \( [0; 2] \).
   • Локальный минимум в \( (0, 0) \).
   • Локальный максимум в \( (2, 4) \).
   • Пересекает оси в \( (0, 0) \) и \( (3, 0) \).

Ответ: Исследование проведено, график построен.