2. Найдите значение выражения: a) $$3^{-4} \cdot 27^2$$; б) $$4^{-3} : 2^{-4}$$

Краткое пояснение:

Для нахождения значений выражений будем использовать свойства степеней: отрицательный показатель, возведение степени в степень, произведение степеней с одинаковыми основаниями и деление степеней с одинаковыми основаниями.

Пошаговое решение:

1. а) Нахождение значения $$3^{-4} \cdot 27^2$$:
   • Преобразуем число 27 в степень числа 3: $$27 = 3^3$$.
   • Подставим это в выражение: $$3^{-4} \cdot (3^3)^2$$.
   • Используем свойство степени $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$: $$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$$.
   • Теперь выражение выглядит так: $$3^{-4} \cdot 3^6$$.
   • Используем свойство произведения степеней $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$: $$3^{-4} \cdot 3^6 = 3^{-4+6} = 3^2$$.
   • Вычислим $$3^2$$: $$3^2 = 9$$.
2. б) Нахождение значения $$4^{-3} : 2^{-4}$$:
   • Представим число 4 как степень числа 2: $$4 = 2^2$$.
   • Подставим это в выражение: $$(2^2)^{-3} : 2^{-4}$$.
   • Используем свойство степени $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$: $$(2^2)^{-3} = 2^{2 \cdot (-3)} = 2^{-6}$$.
   • Теперь выражение выглядит так: $$2^{-6} : 2^{-4}$$.
   • Используем свойство деления степеней $$a^m : a^n = a^{m-n}$$: $$2^{-6} : 2^{-4} = 2^{-6 - (-4)} = 2^{-6+4} = 2^{-2}$$.
   • Преобразуем степень с отрицательным показателем: $$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$$.

Ответ: а) 9; б) $$\frac{1}{4}$$.