2. Найти первообразную, график которой проходит через т.А

Решение:

Для начала найдём общую первообразную для каждого случая, а затем используем координаты точки \( A \) для нахождения константы \( C \).

а) \( f(x) = 3x^2 - 2x + 4; A(-1;1) \)

Общая первообразная:

\[ F(x) = \int (3x^2 - 2x + 4) dx = 3 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + 4x + C = x^3 - x^2 + 4x + C \]

Подставим координаты точки \( A(-1;1) \):

\[ 1 = (-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) + C \]\[ 1 = -1 - 1 - 4 + C \]\[ 1 = -6 + C \]\[ C = 7 \]

Первообразная:

\[ F(x) = x^3 - x^2 + 4x + 7 \]

б) \( f(x) = 4x + \frac{1}{x^2}; A(-1;4) \)

Запишем \( \frac{1}{x^2} \) как \( x^{-2} \).

Общая первообразная:

\[ F(x) = \int (4x + x^{-2}) dx = 4 \frac{x^2}{2} + \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 2x^2 + \frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x^2 - \frac{1}{x} + C \]

Подставим координаты точки \( A(-1;4) \):

\[ 4 = 2(-1)^2 - \frac{1}{-1} + C \]\[ 4 = 2(1) + 1 + C \]\[ 4 = 3 + C \]\[ C = 1 \]

Первообразная:

\[ F(x) = 2x^2 - \frac{1}{x} + 1 \]

Ответ: а) F(x) = x³ - x² + 4x + 7; б) F(x) = 2x² - \(\frac{1}{x}\) + 1.