3. Вычислить интеграл

Решение:

а) \( \int_{1}^{2} (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx \)

Сначала найдём первообразную для функции \( 3x^2 - 4x - 2x^{-2} \):

\[ F(x) = \int (3x^2 - 4x - 2x^{-2}) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^{-1}}{-1} = x^3 - 2x^2 + \frac{2}{x} \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\[ \int_{1}^{2} (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx = F(2) - F(1) \]\[ F(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + \frac{2}{2} = 8 - 2(4) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1 \]\[ F(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + \frac{2}{1} = 1 - 2 + 2 = 1 \]\[ \int_{1}^{2} (3x^2 - 4x - \frac{2}{x^2}) dx = 1 - 1 = 0 \]

б) \( \int_{1}^{4} (4\sqrt{x} - 3x^2) dx \)

Запишем \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \).

Сначала найдём первообразную для функции \( 4x^{1/2} - 3x^2 \):

\[ F(x) = \int (4x^{1/2} - 3x^2) dx = 4\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 3\frac{x^{2+1}}{2+1} = 4\frac{x^{3/2}}{3/2} - 3\frac{x^3}{3} = 4 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} - x^3 = \frac{8}{3} x^{3/2} - x^3 \]

Теперь вычислим определённый интеграл:

\[ \int_{1}^{4} (4\sqrt{x} - 3x^2) dx = F(4) - F(1) \]\[ F(4) = \frac{8}{3} (4)^{3/2} - (4)^3 = \frac{8}{3} (2^2)^{3/2} - 64 = \frac{8}{3} (2^3) - 64 = \frac{8}{3} \cdot 8 - 64 = \frac{64}{3} - 64 = \frac{64 - 192}{3} = -\frac{128}{3} \]\[ F(1) = \frac{8}{3} (1)^{3/2} - (1)^3 = \frac{8}{3} - 1 = \frac{8 - 3}{3} = \frac{5}{3} \]\[ \int_{1}^{4} (4\sqrt{x} - 3x^2) dx = -\frac{128}{3} - \frac{5}{3} = -\frac{133}{3} \]

Ответ: а) 0; б) -\(\frac{133}{3}\).