4. Найти площадь криволинейной трапеции y = 2x^2, y = 0; x = -1; x = 1

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций \( y = f(x) \), \( y = g(x) \) и прямыми \( x = a \), \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx \]

В данном случае \( f(x) = 2x^2 \) и \( g(x) = 0 \) (ось абсцисс). Пределы интегрирования даны: \( a = -1 \) и \( b = 1 \).

\[ S = \int_{-1}^{1} |2x^2 - 0| dx = \int_{-1}^{1} 2x^2 dx \]

Так как \( 2x^2 \) — чётная функция, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно вычислить интеграл от 0 до 1 и умножить результат на 2:

\[ S = 2 \int_{0}^{1} 2x^2 dx \]

Найдём первообразную для \( 2x^2 \):

\[ F(x) = \int 2x^2 dx = 2 \frac{x^3}{3} \]

Вычислим определённый интеграл:

\[ S = 2 \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{2(1)^3}{3} - \frac{2(0)^3}{3} \right) \]\[ S = 2 \left( \frac{2}{3} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: \(\frac{4}{3}\).