Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя графиками, сначала нужно найти точки их пересечения. Приравняем правые части уравнений:
\[ -x^2 - 4x = 4 + x \]\[ -x^2 - 4x - x - 4 = 0 \]\[ -x^2 - 5x - 4 = 0 \]\[ x^2 + 5x + 4 = 0 \]Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \).
Корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]Теперь найдём площадь фигуры, используя формулу:
\[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx \]Где \( a = -4 \) и \( b = -1 \) — точки пересечения. Верхняя функция — \( y = -x^2 - 4x \) (парабола ветвями вниз), нижняя — \( y = 4 + x \) (прямая).
\[ S = \int_{-4}^{-1} ((-x^2 - 4x) - (4 + x)) dx \]\[ S = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 4x - 4 - x) dx \]\[ S = \int_{-4}^{-1} (-x^2 - 5x - 4) dx \]Найдём первообразную:
\[ F(x) = \int (-x^2 - 5x - 4) dx = -\frac{x^3}{3} - 5\frac{x^2}{2} - 4x \]Вычислим определённый интеграл:
\[ S = F(-1) - F(-4) \]\[ F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} - 5\frac{(-1)^2}{2} - 4(-1) = -\frac{-1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{2 - 15 + 24}{6} = \frac{11}{6} \]\[ F(-4) = -\frac{(-4)^3}{3} - 5\frac{(-4)^2}{2} - 4(-4) = -\frac{-64}{3} - 5\frac{16}{2} + 16 = \frac{64}{3} - 5 \cdot 8 + 16 = \frac{64}{3} - 40 + 16 = \frac{64}{3} - 24 = \frac{64 - 72}{3} = -\frac{8}{3} \]\[ S = \frac{11}{6} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{11}{6} + \frac{8}{3} = \frac{11 + 16}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]Ответ: \(\frac{9}{2}\).
