2. Найти первообразную, график которой проходит через т. A: а) $f(x)=4x-6x^2+1;\ A(0;2)$; б) $f(x)=\frac{1}{x^2}-10x^4+3;\ A(1;5)$; в) $f(x)=\sqrt{2}\cos x;\ A\left(\frac{\pi}{4};2\right)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Найти первообразную, график которой проходит через т. A: а) $f(x)=4x-6x^2+1;\ A(0;2)$; б) \(f(x)=\frac{1}{x^2}-10x^4+3;\…$ Фото задания

2. Найти первообразную, график которой проходит через т. A: а) $f(x)=4x-6x^2+1;\ A(0;2)$; б) $f(x)=\frac{1}{x^2}-10x^4+3;\ A(1;5)$; в) $f(x)=\sqrt{2}\cos x;\ A\left(\frac{\pi}{4};2\right)$.

Accepted Answer

Сначала находим общую первообразную, затем подставляем координаты точки $A(x_0;y_0)$, чтобы определить константу.

а) $F(x)=2x^2-2x^3+x+C$. Из условия $F(0)=2$ получаем $C=2$. Поэтому $F(x)=2x^2-2x^3+x+2$.
б) При $x\ne0$: $F(x)=-\frac{1}{x}-2x^5+3x+C$. Из условия $F(1)=5$: $-1-2+3+C=5$, значит $C=5$. Поэтому $F(x)=-\frac{1}{x}-2x^5+3x+5$ (на промежутке, содержащем $x=1$, например при $x>0$).
в) $F(x)=\sqrt{2}\sin x+C$. Из условия $F\left(\frac{\pi}{4}\right)=2$ получаем $1+C=2$, значит $C=1$. Поэтому $F(x)=\sqrt{2}\sin x+1$.

2. Найти первообразную, график которой проходит через т. A: а) \(f(x)=4x-6x^2+1;\ A(0;2)\); б) \(f(x)=\frac{1}{x^2}-10x^4+3;\ A(1;5)\); в) \(f(x)=\sqrt{2}\cos x;\ A\left(\frac{\pi}{4};2\right)\).

Ответ: