3. Вычислить интеграл: а) $\int_1^4\left(\frac{4}{x^2}+2x-3x^2\right)dx$; б) $\int_1^4(4x^3-3\sqrt{x})dx$; в) $\int_0^{\pi/24}\frac{2\,dx}{\sin^2(2x+\frac{\pi}{4})}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Вычислить интеграл: а) $\int_1^4\left(\frac{4}{x^2}+2x-3x^2\right)dx$; б) $\int_1^4(4x^3-3\sqrt{x})dx$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Первообразная подынтегральной функции: $-\frac{4}{x}+x^2-x^3$. Тогда
\[\left[-\frac{4}{x}+x^2-x^3\right]_1^4=(-1+16-64)-(-4+1-1)=-49-(-4)=-45.\]
Первообразная: $x^4-2x^{3/2}$. Следовательно,
\[\left[x^4-2x^{3/2}\right]_1^4=(256-16)-(1-2)=241.\]
Поскольку $\frac{d}{dx}\cot(2x+\frac{\pi}{4})=-\frac{2}{\sin^2(2x+\frac{\pi}{4})}$, получаем
\[\left[-\cot\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\right]_0^{\pi/24}=-\cot\frac{\pi}{3}+\cot\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{\sqrt{3}}.\]

Ответ: а) $-45$; б) $241$; в) $1-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Другие подпункты, видимые слева на фотографии, обрезаны; их выражения нельзя прочитать полностью.

3. Вычислить интеграл: а) \(\int_1^4\left(\frac{4}{x^2}+2x-3x^2\right)dx\); б) \(\int_1^4(4x^3-3\sqrt{x})dx\); в) \(\int_0^{\pi/24}\frac{2\,dx}{\sin^2(2x+\frac{\pi}{4})}\).