2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами y=x^2, y=2x-x^2, осью Ox

Решение:

Для решения этой задачи нужно найти точки пересечения парабол, определить, какая из них находится выше, и затем вычислить площадь между ними, учитывая, что одна из границ — ось Ox.

1. Находим точки пересечения парабол:
   Приравниваем уравнения: x^2 = 2x - x^2.
   2x^2 - 2x = 0.
   2x(x - 1) = 0.
   Точки пересечения: x = 0 и x = 1.
2. Определяем, какая парабола выше:
   Возьмем точку между 0 и 1, например, x = 0.5.
   Для y = x^2: y = (0.5)^2 = 0.25.
   Для y = 2x - x^2: y = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75.
   Следовательно, y = 2x - x^2 находится выше в интервале (0, 1).
3. Находим площадь между параболами:
   S₁ = ∫₀¹ (2x - x² - x²) dx = ∫₀¹ (2x - 2x²) dx
   S₁ = [x² - (2/3)x³]⁼¹₀ = (1² - (2/3)1³) - (0) = 1 - 2/3 = 1/3.
4. Находим площадь под верхней параболой до оси Ox:
   y = 2x - x^2 пересекает ось Ox, когда 2x - x^2 = 0, то есть при x = 0 и x = 2.
5. Вычисляем площадь под y = 2x - x^2 от 0 до 2:
   S₂ = ∫₀² (2x - x²) dx = [x² - (1/3)x³]⁼²₀ = (2² - (1/3)2³) - (0) = 4 - 8/3 = (12 - 8)/3 = 4/3.
6. Общая площадь:
   Площадь между параболами (S₁) равна 1/3. Площадь под верхней параболой (S₂) равна 4/3. Но задание просит площадь фигуры, ограниченной *обеими* параболами. В интервале (0, 1) верхняя парабола - 2x-x^2, нижняя - x^2. Площадь между ними 1/3.
7. Уточнение: Если имеется в виду площадь, ограниченная y=x^2, y=2x-x^2, то мы нашли площадь между ними как 1/3. Если же имеется в виду площадь, ограниченная y=x^2, y=2x-x^2 и y=0, то нужно рассмотреть, как эти кривые расположены относительно оси Ox. Парабола y=x^2 всегда выше оси Ox. Парабола y=2x-x^2 выше оси Ox на интервале (0, 2).
8. Переосмыслим: Площадь, ограниченная y = x^2 и y = 2x - x^2, будет между их точками пересечения x = 0 и x = 1. Площадь, ограниченная y=x^2 и y=0 от x=0 до x=1 равна ∫₀¹ x² dx = [x³/3]⁼¹₀ = 1/3. Площадь, ограниченная y=2x-x^2 и y=0 от x=0 до x=1 равна ∫₀¹ (2x-x²) dx = [x² - x³/3]⁼¹₀ = 1 - 1/3 = 2/3.
9. Наиболее вероятная интерпретация: площадь фигуры, ограниченной y=x^2 снизу и y=2x-x^2 сверху, между точками их пересечения x=0 и x=1.

S = ∫₀¹ ( (2x - x²) - x² ) dx = ∫₀¹ (2x - 2x²) dx = [x² - \(\frac{2}{3}\)x³]⁼¹₀ = \(1² - \frac{2}{3}1³\) - (0) = 1 - \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\).

Ответ: 1/3