4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной: параболой y=x2-4x+5; осью Ох; прямыми х=1 и х=4.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), осью Ox и вертикальными прямыми x=a и x=b, нужно вычислить определенный интеграл от функции f(x) в пределах от a до b.

1. Определяем функцию и пределы интегрирования:
   Функция: y = x² - 4x + 5.
   Ось Ox: y = 0.
   Левая граница: x = 1.
   Правая граница: x = 4.
2. Проверяем, находится ли функция выше оси Ox на заданном интервале:
   Найдем вершину параболы: x_верш = -b/(2a) = -(-4)/(2*1) = 4/2 = 2.
   Значение функции в вершине: y = 2² - 4*2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1.
   Так как вершина параболы находится выше оси Ox (y=1), и ветви параболы направлены вверх (коэффициент при x² положительный), то вся парабола на интервале [1, 4] находится выше оси Ox.
3. Составляем интеграл:
   Площадь (S) = ∫₁⁴ (x² - 4x + 5) dx
4. Вычисляем интеграл:
   Первообразная для x² — это x³/3.
   Первообразная для -4x — это -4x²/2 = -2x².
   Первообразная для 5 — это 5x.
   S = [x³/3 - 2x² + 5x]⁼⁴₁
   S = ((4³/3 - 2*4² + 5*4) - (1³/3 - 2*1² + 5*1))
   S = ((64/3 - 32 + 20) - (1/3 - 2 + 5))
   S = (64/3 - 12) - (1/3 + 3)
   S = (64/3 - 36/3) - (1/3 + 9/3)
   S = 28/3 - 10/3 = 18/3 = 6.

Ответ: 6