6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=2x-x^2; y=0.

Решение:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y = 2x - x^2 и осью Ox (y = 0), необходимо найти точки пересечения параболы с осью Ox, а затем вычислить определенный интеграл от функции в пределах этих точек.

1. Находим точки пересечения с осью Ox:
   Приравниваем уравнение параболы к нулю: 2x - x² = 0.
   Выносим x за скобки: x(2 - x) = 0.
   Корни уравнения: x = 0 и x = 2. Это и будут пределы интегрирования.
2. Определяем, где парабола находится выше оси Ox:
   Парабола y = 2x - x² имеет ветви, направленные вниз (коэффициент при x² отрицательный). Следовательно, на интервале между корнями (от 0 до 2) она находится выше оси Ox.
3. Составляем интеграл:
   Площадь (S) = ∫₀² (2x - x²) dx
4. Вычисляем интеграл:
   Первообразная для 2x — это 2x²/2 = x².
   Первообразная для -x² — это -x³/3.
   S = [x² - x³/3]⁼²₀
   S = (2² - 2³/3) - (0² - 0³/3)
   S = (4 - 8/3) - 0
   S = (12/3 - 8/3) = 4/3.

Ответ: 4/3