3. В параллелограмм ABCD, с ∠A = 45° и AD = =102см, вписана окружность. Найдите радиус окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В параллелограмм можно вписать окружность только в том случае, если он является ромбом. Следовательно, все стороны параллелограмма равны. AD = AB = BC = CD = 10√2 см.
2. Шаг 2: В ромбе высота (h), проведенная из вершины угла, равна диаметру вписанной окружности (d).
3. Шаг 3: Высота ромба, проведенная из вершины А к стороне CD (или из D к стороне AB), может быть найдена с помощью тригонометрии. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной D, основанием на стороне AB и проекцией D на AB. Угол при А равен 45°.
4. Шаг 4: Высота h = AD * sin(∠A).
5. Шаг 5: Подставляем значения: h = 10√2 * sin(45°).
6. Шаг 6: sin(45°) = √2 / 2.
7. Шаг 7: Вычисляем высоту: h = 10√2 * (√2 / 2) = 10 * (√2 * √2) / 2 = 10 * 2 / 2 = 10 см.
8. Шаг 8: Высота ромба равна диаметру вписанной окружности: d = 10 см.
9. Шаг 9: Радиус вписанной окружности (r) равен половине диаметра: r = d / 2.
10. Шаг 10: Вычисляем радиус: r = 10 / 2 = 5 см.

Ответ: 5 см