2. Определите вид треугольника ABC, если A(9; 3; −5), B(2; 10; −5), C(2; 3; 2). Найдите угол BAC и медиану BM.

Вычислим квадраты длин сторон по координатам:

\(AB^2=(2-9)^2+(10-3)^2+(-5+5)^2=49+49=98\).

\(AC^2=(2-9)^2+(3-3)^2+(2+5)^2=49+49=98\).

\(BC^2=(2-2)^2+(3-10)^2+(2+5)^2=49+49=98\).

Все стороны равны, следовательно, ABC — равносторонний треугольник, а \(\angle BAC=60^\circ\).

Медиана BM в равностороннем треугольнике является высотой. Её длина:

\(BM=\sqrt{AB^2-\left(\frac{AC}{2}\right)^2}=\sqrt{98-\frac{98}{4}}=\sqrt{\frac{294}{4}}=\frac{7\sqrt{6}}{2}\).

Ответ: ABC — равносторонний; \(\angle BAC=60^\circ\), \(BM=\frac{7\sqrt{6}}{2}\).