5. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 1 см. На диагонали AD₁ его грани отметили точку E так, что AE : ED₁ = 2 : 7. 1) Выразите вектор \(\overrightarrow{BE}\) через векторы \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BB₁}\). 2) Найдите модуль вектора \(\overrightarrow{BE}\).

1) Из отношения \(AE:ED_1=2:7\) следует, что \(\overrightarrow{AE}=\frac{2}{9}\overrightarrow{AD_1}\). В кубе \(\overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB_1}\). По правилу сложения векторов:

\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BB_1}\).

2) Рёбра куба, выходящие из B, попарно перпендикулярны и имеют длину 1 см. Поэтому

\(|\overrightarrow{BE}|=\sqrt{1^2+\left(\frac{2}{9}\right)^2+\left(\frac{2}{9}\right)^2}=\sqrt{\frac{89}{81}}=\frac{\sqrt{89}}{9}\text{ см}\).

Ответ: 1) \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BB_1}\); 2) \(|\overrightarrow{BE}|=\frac{\sqrt{89}}{9}\text{ см}\).