2. Определите вид треугольника ABC, если A(9; 3; −5), B(2; 10; −5), C(2; 3; 2). Найти угол BAC, медиану BM.

Найдём квадраты длин сторон по координатам:

\(AB^2=(2-9)^2+(10-3)^2+(-5+5)^2=49+49=98\).

\(AC^2=(2-9)^2+(3-3)^2+(2+5)^2=49+49=98\).

\(BC^2=(2-2)^2+(3-10)^2+(2+5)^2=49+49=98\).

Все стороны равны, поэтому треугольник ABC равносторонний. Следовательно, \(\angle BAC=60^\circ\).

Середина AC — точка \(M\left(\frac{9+2}{2};\frac{3+3}{2};\frac{-5+2}{2}\right)=\left(\frac{11}{2};3;-\frac{3}{2}\right)\). Тогда

\(BM=\sqrt{\left(\frac{11}{2}-2\right)^2+(3-10)^2+\left(-\frac{3}{2}+5\right)^2}=\sqrt{\frac{49}{4}+49+\frac{49}{4}}=\frac{7\sqrt{6}}{2}\).

Ответ: треугольник равносторонний; \(\angle BAC=60^\circ\), \(BM=\frac{7\sqrt{6}}{2}\).