2. По данным на рисунке найдите периметр треугольника ABC. а) AB = BC = 11, BK ⟂ AC, AK = 6; б) AB = BC = 12, BK — биссектриса угла ABC, KC = 5; в) ∠A = ∠C, AB = 5, CK = 4, BK ⟂ AC.

а) В равнобедренном треугольнике ABC высота BK, проведённая к основанию AC, делит основание пополам. Поэтому AK = KC = 6, а AC = 12.

Периметр: P = AB + BC + AC = 11 + 11 + 12 = 34.

б) Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный. По теореме о биссектрисе BK делит AC в отношении AB : BC = 1 : 1, следовательно, AK = KC = 5 и AC = 10.

Периметр: P = 12 + 12 + 10 = 34.

в) Из равенства углов A и C следует, что противоположные им стороны равны: BC = AB = 5. В прямоугольном треугольнике BKC гипотенуза BC = 5, катет CK = 4, поэтому BK = 3 по теореме Пифагора. В прямоугольном треугольнике ABK гипотенуза AB = 5 и катет BK = 3, поэтому AK = 4. Тогда AC = AK + KC = 4 + 4 = 8.

Периметр: P = 5 + 5 + 8 = 18.

Ответ: а) 34; б) 34; в) 18.