5. Дано ΔABC, AB = BC, AK и CM — медианы. Докажите: а) AK = CM; б) ∠BAK = ∠BCM; в) ∠KAC = ∠MCA.

Так как AK и CM — медианы, K — середина BC, а M — середина AB. Поэтому BK = BM.

Рассмотрим треугольники ABK и CBM. Имеем AB = BC по условию, BK = BM, а углы ABK и CBM равны, поскольку образованы одними и теми же прямыми BA и BC. Следовательно, треугольники ABK и CBM равны по двум сторонам и углу между ними.

а) Из равенства треугольников соответствующие медианы равны: AK = CM.

б) Из равенства треугольников соответствующие углы равны: ∠BAK = ∠BCM.

в) Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный, поэтому ∠BAC = ∠ACB. Вычитая из равных углов равные углы из пункта б), получаем ∠KAC = ∠MCA.

Ответ: AK = CM; ∠BAK = ∠BCM; ∠KAC = ∠MCA.