2. Построить график функции $y=-x^2+2x+3$. По графику выяснить: 1) при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения; 2) при каких значениях $x$ функция убывает; 3) при каких значениях $x$ функция принимает наибольшее значение и найти это значение.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Построить график функции $y=-x^2+2x+3$. По графику выяснить: 1) при каких значениях $x$ функция принимает…$ Фото задания

2. Построить график функции $y=-x^2+2x+3$. По графику выяснить: 1) при каких значениях $x$ функция принимает положительные значения; 2) при каких значениях $x$ функция убывает; 3) при каких значениях $x$ функция принимает наибольшее значение и найти это значение.

Accepted Answer

Приведём функцию к вершиной форме: $y=-(x-1)^2+4$. Значит, вершина параболы — $(1;4)$, ось симметрии — $x=1$, ветви направлены вниз. Нули: $-x^2+2x+3=0$, или $(x-3)(x+1)=0$, поэтому $x=-1$ и $x=3$.

Для построения используем, в частности, точки $(-1;0)$, $(0;3)$, $(1;4)$, $(2;3)$, $(3;0)$.

1) Парабола расположена выше оси $x$ между своими нулями, поэтому $y>0$ при $-1<x<3$.

2) Поскольку ветви направлены вниз, после вершины функция убывает: при $x\in(1;+)$.

3) Наибольшее значение достигается в вершине при $x=1$ и равно $4$.

Ответ: 1) $(-1;3)$; 2) $(1;+)$; 3) при $x=1$, наибольшее значение равно $4$.