2. При каком наибольшем натуральном k клетки таблицы 5×5 можно заполнить нулями и единицами (в каждой клетке должно стоять ровно одно число) так, чтобы нашлись k строк, в каждой из которых сумма чисел не меньше 3, и k столбцов, в каждом из которых сумма чисел не больше 2?

Рассмотрим выбранные k строк и k столбцов. В выбранных строках должно быть не менее 3k единиц. В выбранных столбцах может быть не более 2k единиц, а в оставшихся 5 − k столбцах — не более 5(5 − k). Следовательно, 3k ≤ 2k + 5(5 − k), откуда 6k ≤ 25 и k ≤ 4.

Пример для k = 4 (строки записаны подряд):

1 1 0 0 1
0 0 1 1 1
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
0 0 0 0 0

Первые четыре строки имеют сумму 3. В каждом из первых четырёх столбцов сумма равна 2. Значит, k = 4 достижимо и является наибольшим.

Ответ: 4.