4. Найдите все натуральные числа n, для которых число n⁷+n⁶+n⁵+1 имеет ровно три натуральных делителя.

Разложим выражение на множители группировкой:

n⁷ + n⁶ + n⁵ + 1 = n⁵(n² + n + 1) + 1.

Проверим n = 1: 1⁷ + 1⁶ + 1⁵ + 1 = 4, у которого ровно три натуральных делителя: 1, 2 и 4.

Для остальных значений требуется доказать, что полученное число не является квадратом простого числа. Я не могу надёжно обосновать этот шаг в рамках доступных данных, поэтому не буду утверждать, что найденный случай — единственный.

Найденное решение: n = 1.