2. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 24√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение:

• Пусть R — радиус описанной окружности, а r — радиус вписанной окружности.
• Диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата. Диагональ квадрата d = 2R.
• Диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Сторона квадрата a = 2r.
• По теореме Пифагора для квадрата: d² = a² + a² = 2a².
• Подставляем выражения через радиусы: (2R)² = 2(2r)².
• Упрощаем: 4R² = 2 * 4r² = 8r².
• Выражаем R² через r²: R² = 2r².
• Известно, что R = 24√2. Подставляем: (24√2)² = 2r².
• Возводим в квадрат: 576 * 2 = 2r², то есть 1152 = 2r².
• Находим r²: r² = 1152 / 2 = 576.
• Извлекаем квадратный корень: r = √576 = 24.

Ответ: 24