№ 2. Решить неравенство: \(\frac{(x-4)^2}{(x+5)(9-x)} \leq 0\)

Решение:

Для решения неравенства методом интервалов, найдём корни числителя и знаменателя.

1. Числитель: \( (x-4)^2 = 0 \implies x = 4 \). Это корень кратности 2.
2. Знаменатель: \( (x+5)(9-x) = 0 \implies x = -5 \) или \( x = 9 \).

Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражений в интервалах:

• Интервал \( (-\infty, -5) \): Возьмём \( x = -6 \). \( \frac{(-6-4)^2}{(-6+5)(9-(-6))} = \frac{(-10)^2}{(-1)(15)} = \frac{100}{-15} < 0 \).
• Интервал \( (-5, 4) \): Возьмём \( x = 0 \). \( \frac{(0-4)^2}{(0+5)(9-0)} = \frac{(-4)^2}{(5)(9)} = \frac{16}{45} > 0 \).
• Интервал \( (4, 9) \): Возьмём \( x = 5 \). \( \frac{(5-4)^2}{(5+5)(9-5)} = \frac{(1)^2}{(10)(4)} = \frac{1}{40} > 0 \).
• Интервал \( (9, \infty) \): Возьмём \( x = 10 \). \( \frac{(10-4)^2}{(10+5)(9-10)} = \frac{(6)^2}{(15)(-1)} = \frac{36}{-15} < 0 \).

Учитывая, что \( x \neq -5 \) и \( x \neq 9 \) (знаменатель не может быть равен нулю), а \( x = 4 \) является решением (числитель равен нулю), получаем:

\( x \in (-\infty, -5) \cup [4] \cup (9, \infty) \).

Из-за того, что \( (x-4)^2 \geq 0 \), знак всего выражения определяется знаком знаменателя \( (x+5)(9-x) \). Нам нужно, чтобы \( (x+5)(9-x) < 0 \), так как \( x \neq 4 \) и \( x \neq -5, 9 \).

\( (x+5)(9-x) < 0 \) при \( x \in (-\infty, -5) \cup (9, \infty) \).

Но также необходимо учесть, что \( x=4 \) является решением, так как \( \frac{(4-4)^2}{(4+5)(9-4)} = \frac{0}{45} = 0 \), что удовлетворяет условию \( \leq 0 \).

Следовательно, объединяем решения:

\( x \in (-\infty, -5) \cup \{4\} \cup (9, \infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -5) \cup \{4\} \cup (9, \infty) \).