№ 5 Решить уравнения: 1. 2sin x + √2 = 0. 2. sin x cos x + 2sin²x = cos²x. 3. ⁵√x + 12 = 2; 4. √x+1=1-x.

Решение:

1. \( 2\sin x + \sqrt{2} = 0 \)

1. \( 2\sin x = -\sqrt{2} \)
2. \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
3. \( x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
4. \( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

2. \( \sin x \cos x + 2\sin^2 x = \cos^2 x \)

1. Перенесём все члены в одну часть: \( \sin x \cos x + 2\sin^2 x - \cos^2 x = 0 \)
2. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (предполагая \( \cos x \neq 0 \)). Получим: \( \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
3. \( \operatorname{tg} x + 2\operatorname{tg}^2 x - 1 = 0 \)
4. Сделаем замену \( t = \operatorname{tg} x \): \( 2t^2 + t - 1 = 0 \)
5. Решим квадратное уравнение: \( D = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \). \( t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \), \( t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1 \).
6. \( \operatorname{tg} x = \frac{1}{2} \implies x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
7. \( \operatorname{tg} x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
8. Проверим случай \( \cos x = 0 \) (тогда \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \)). \( \sin x = \pm 1 \).
9. \( (\pm 1)(0) + 2(\pm 1)^2 = 0^2 \implies 0 + 2(1) = 0 \implies 2 = 0 \) — неверно.

3. \( \sqrt[5]{x + 12} = 2 \)

1. Возведём обе части в 5-ю степень: \( (\sqrt[5]{x + 12})^5 = 2^5 \)
2. \( x + 12 = 32 \)
3. \( x = 32 - 12 \)
4. \( x = 20 \)

4. \( \sqrt{x+1} = 1-x \)

1. Возведём обе части в квадрат: \( (\sqrt{x+1})^2 = (1-x)^2 \)
2. \( x+1 = 1 - 2x + x^2 \)
3. \( x+1 = 1 - 2x + x^2 \)
4. \( x^2 - 3x = 0 \)
5. \( x(x-3) = 0 \)
6. \( x=0 \) или \( x=3 \).
7. Проверим корни:
• Если \( x=0 \): \( \sqrt{0+1} = 1 \), \( 1-0 = 1 \). \( 1=1 \) — верно.
• Если \( x=3 \): \( \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \), \( 1-3 = -2 \). \( 2=-2 \) — неверно.
8. Следовательно, \( x=3 \) — посторонний корень.

Ответ: 1. \( x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \). 2. \( x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), \( k, n \in \mathbb{Z} \). 3. \( x = 20 \). 4. \( x = 0 \).